Тульские астрономические олимпиады

Тульская астрономическая олимпиада 1999 года

Задачи, помеченные *, заимствованы из сборника
"Астрономические олимпиады" под ред. В.Г.Сурдина,
остальные задачи предложены Н.Е.Шатовской.

7-8 классы

1. У Александра Блока есть такие строки:

Окрай небес - звезда омега,
Весь в искрах, Сириус цветной.
Над головой - немая Вега
Из царства сумрака и  снега
Оледенела над землёй...

Возможна ли описанная астрономическая ситуация? Почему?

2*. Перед вами - неоконченное стихотворение А.С.Пушкина:
```
Надо мной в лазури ясной
Светит звёздочка одна,
Справа запад тёмно-красный,
Слева близкая Луна.
```
Определите:
1. к какой стороне горизонта поэт был повёрнут лицом;
2. какое было время суток;
3. в какой фазе была Луна;
4. что за "звёздочка" могла светить поэту?

3. Используя подвижную карту звёздного неба, определите продолжительность дня в Туле сегодня, 12 апреля 1999 года.

4*. Перечислите объекты Солнечной системы в порядке уменьшения их размера (хвосты комет можно не упоминать).

5*. Метеоры, относящиеся к метеорному потоку Лирид, наблюдаются ежегодно с 19 по 24 апреля. Предполагая, что Земля пересекает метеорный поток перпендикулярно его оси, вычислите ширину потока в километрах. Радиус земной орбиты - 150 млн.км.

6. Кондитерская фабрика "Ясная поляна" освоила выпуск новой продукции - конфет "Млечный Путь" и "Знаки Зодиака". Однако художник, придумавший фантики для новых конфет, недостаточно сведущ в астрономии. Что следует исправить?

7. Дайте астрономический комментарий к рождественской открытке художника Ю.Куртенко.

9-11 классы

1. У Ивана Бунина в поэме "Листопад" есть такие строки:

Последние мгновенья счастья!
Уж знает Осень, что такой
Глубокий и немой покой - 
Предвестник долгого ненастья.
Глубоко, странно лес молчал
И на заре, когда с заката
Пурпурный блеск огня и злата
Пожаром терем освещал.
Потом угрюмо в нем стемнело.
Луна восходит, а в лесу
Ложатся тени на росу...

Определите:

в каком созвездии находилось Солнце;
каков был его азимут при заходе;
в какой фазе восходила Луна;
в каком созвездии она находилась?

2. Используя подвижную карту звёздного неба, определите продолжительность дня и высоту Солнца над горизонтом в полдень сегодня, 12 апреля 1999 года.

3. Вычислите, за какое время солнечный диск пересекает линию горизонта при восходе или заходе. Наблюдатель находится в Туле (широта +54). (Задача заимствована из сборника "Звёздный мир" под ред. М.Г.Гаврилова)

4*. Двенадцать знаков Зодиака имеют одинаковую протяженность по эклиптике. В каком из них Солнце проводит меньше всего времени?

5. Вычислите наибольшее возможное значение элонгации Земли при наблюдении с Марса. Большие полуоси орбит Земли и Марса составляют соответственно 150 и 228 млн.км., эксцентриситеты орбит равны соответственно 0,017 и 0,093.

6. Рождественская открытка, созданная художницей С.Комаровой, содержит астрономическую ошибку. Какую именно?

Теоретический тур (физика космоса)

Задачи теоретического тура предложены С.П.Кожининым.

7-8 классы

1. В простейшей модели Землю можно рассматривать как шар радиуса R=6400 км. Масса Земли М=6*10²⁴ кг. Давление атмосферы у поверхности Земли P_ат=10⁵ Па. Оцените:
1. а) среднюю плотность ρ Земли;
2. б) массу атмосферы Земли m_ат;
3. в) давление в центре Земли Р_с.
Указания. Площадь поверхности шара радиуса R определяется формулой S=4*∏*R². Объем шара V=4/3*∏*R³. Ускорение свободного падения на поверхности планеты (или звезды) массы М и радиуса R - g₀=G*М/R², где G=6,67*10^-11 Нм²/кг².

2. Спутник движется по круговой орбите радиуса r в поле тяготения планеты (звезды) массы М и радиуса R. Орбитальная скорость спутника определяется формулой v=SQR(G*M/r), где G=6,67*10^-11 Нм²/кг² - гравитационная постоянная, r=R+H - радиус орбиты спутника, Н - высота спутника над поверхностью планеты (звезды).
Определить минимальный период обращения спутника Т_мин и соответствующую орбитальную скорость спутника v_мин. Численные оценки Т_мин и v_мин получить для спутника, движущегося в поле тяготения а) Земли; б) нейтронной звезды. Средняя плотность Земли 5,5 г/см³, нейтронной звезды 10¹⁷ кг/м³.
Указания. Объем шара радиуса R определяется формулой V=4/3*∏*R³, длина окружности радиуса r L=2*∏*r.

9-10 классы

1. Сможет ли космонавт, подпрыгнув, покинуть навсегда астероид, масса которого М=1,1*10¹⁶ кг и радиус R=11,1 км? Гравитационная постоянная G=6,67*10^-11 Нм²/кг².

2. Масса газового облака, состоящего из водорода, равна М=2*10³⁶ кг, его температура Т=50 К. Оценить радиус облака, при котором оно будет сжиматься под действием сил гравитации. Масса атома водорода m_o=2*10^-24 г, постоянная Больцмана k=1,38*10^-23 Дж/К.

3. Спутник движется по круговой орбите вблизи поверхности Земли. Определить третью космическую скорость спутника. Масса Земли М=6*10²⁴ кг, ее радиус R=6400 км. Расстояние от Земли до Солнца r_o=1,5*10¹¹ м. Масса Солнца М_с=2*10³⁰ кг.

4. Две компоненты двойной системы движутся по круговым орбитам вокруг общего центра масс С, причем расстояние между их центрами постоянно и равно r. Массы компонент равны M и m.
Определить:
1. а) радиусы орбит компонент r₁ и r₂;
2. б) орбитальные скорости компонент v₁ и v₂;
3. в) период обращения компонент вокруг центра масс Т.
Численные оценки получить для следующих систем:
1. Солнце - Юпитер (М_с=2*10³⁰ кг, m=10^-3М_с, r=5,2 а.е., 1 а.е.=1,5*10¹¹ м.)
2. 55 Рака - 55 Рака В (М=1,1М_с, m=1,9*10^-3М_с, r=0,11 а.е.)

11 класс

1. Наблюдения вспышки рентгеновского барстера позволили определить его спектр и светимость. Спектр оказался чернотельным с температурой k*T=2 кэВ, а светимость L=10³⁸ эрг/с. Определить радиус R нейтронной звезды. Чему равна температура поверхности нейтронной звезды?
k=1,38*10^-16 эрг/К, 1 эВ=1,6*10^-12 эрг, σ=5,67*10^-5 эрг/см²K⁴с - постоянная Стефана-Больцмана.

2. Один из законов физики чёрных дыр гласит, что ни при каких взаимодействиях и процессах площадь поверхности чёрной дыры не может уменьшиться. Оцените энергию, которая может выделиться при слиянии двух чёрных дыр Шварцшильда.
Гравитационный радиус R_g=2*G*M/с², где М - масса чёрной дыры, G - гравитационная постоянная.

3. Возможным источником активности ядер галактик и квазаров является аккреция вещества на массивную чёрную дыру (ЧД). Минимальный размер излучающей области в этом случае порядка гравитационного радиуса ЧД (см.задачу 2). Максимальная светимость в этом случае обычно принимается равной эддингтоновскому пределу светимости L_кр=1,2*10³⁸(М/Мс) эрг/с.
      а) Используя модель аккреции для квазара 3С 273, оцените массу чёрной дыры. Светимость квазара L=10⁴⁷ эрг/с.
      б) Процесс аккреции в галактике с массивной чёрной дырой мог бы "питаться" газом, который сбрасывается звездами галактики. Этому газу ничего не остаётся, как падать к центру галактики, где он и захватывается ЧД. Предположим, что в центре нашей Галактики существует ЧД. Оцените массу этой ЧД М_B. Масса Галактики М_Г=3*10⁴¹ кг. Светимость Солнца L_с=3,8*10²⁶ Вт. Масса Солнца М_с=2*10³⁰ кг.
      При решении этой задачи следует учесть, что светимость при аккреции на ЧД L=η*М'с², где М'=dМ/dt - аккреционный поток, то есть масса газа, падающая на ЧД в единицу времени, η - коэффициент трансформации или КПД ЧД, т.е. доля энергии покоя газа, которая преобразуется в выходящее наружу излучение. При сферически симметричной аккреции η=0,06, при дисковой аккреции η=0,42.